1. Tên công trình
Cấu trúc của một số lớp đồ thị trong không gian hữu hạn và các ứng dụng của chúng
2. Tên tác giả/nhóm tác giả
Lê Anh Vinh, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội.
3. Giới thiệu tóm tắt công trình
3.1. Mục đích:
Những năm gần đây, nhiều ngành như giải tích, xác suất, giải tích số học, lý thuyết đồ thị có rất nhiều ứng dụng vào các kết quả trong tổ hợp. Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng trường hay vành hữu hạn như là một không gian mẫu để nghiên cứu các bài toán tổ hợp thường mở ra nhiều kết quả không hiển nhiên trong các bài toán gốc. Cụ thể là nhiều định lý hoặc tính chất đúng trên trường hữu hạn thì kết quả tương tự cũng đúng trong các không gian khác và ngược lại. Trong công trình này, tác giả tiếp tục nghiên cứu sâu hơn hiện tượng này bằng cách xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị đặc biệt trong không gian vectơ trên trường và vành hữu hạn. Từ đó, sử dụng tính chất của các lớp đồ thị này để đưa ra những ứng dụng trên một số bài toán tổ hợp cộng tính như: bài toán khoảng cách Erdos, bài toán liên thuộc điểm – đường thẳng, sự phân bố của các đơn hình trong không gian hữu hạn, sự phân bố của một số ma trận với tính chất đặc biệt, đánh giá tổng – tích trên trường/vành hữu hạn, tính giải được của một số hệ phương trình và xây dựng một số đồ thị với tính chất kề mạnh.
3.2. Những kết quả chính:
Công bố 11 bài báo khoa học (với địa chỉ từ VNU – Hanoi):
- L. A. Vinh, On the permanents of matrices with restricted entries over finite fields, SIAM J. Discrete Math.26(3) (2012), 997 – 1007 (SCI).
- L. A. Vinh, The solvability of norm, bilinear and quadratic equations over finite fields via spectra of graphs, Forum Mathematicum (published online), DOI: 10.1515/form.2011.155 (SCI).
- L. A. Vinh, Distinct triangle areas in a planar point set over finite fields, Electronic Journal of Combinatorics18(1) (2011), P213 (SCI-E).
- L. A. Vinh, Product sets and distance sets of random point sets in vector spaces over finite rings, đã được nhận đăng trên tạp chí Indiana University Mathematics Journal (SCI).
- L. A. Vinh, Sum and shifted-product subsets of product-sets over finite rings, Electronic Journal of Combinatorics19(2) (2012), P33 (SCI-E).
- L. A. Vinh, An explicit construction of (3,t)-existentially closed graphs, Discrete Applied Mathematics161 (10), 1651 – 1654 (SCI). (SCI).
- L. A. Vinh, On the volume set of point sets in vector spaces over finite fields, đã được nhận đăng trên tạp chí Proceedings of the American Mathematical Society (SCI).
- P. V. Thang and L. A. Vinh, Erdos – Renyi graphs, Szemeredi – Trotter type theorem, and sum – product estimates over finite rings, Forum Mathematicum (published online) DOI: 10.1515/forum-2011-0161 (SCI).
- P. V. Thang and L. A. Vinh, Orthogonal systems in vector spaces over finite fields, Electronic Journal of Combinatorics19(2) (2012), P48 (SCI-E).
- L. A. Vinh, Explicit construction of 3-e.c. graphs from quadrances, Australasian Journal of Combinatorics51 (2011), 3 – 6.
- L. A. Vinh, On kaleidoscopic pseudo-randomness of finite Euclidean graphs, Discussiones Mathematicae Graph Theory32(2) (2012) 279 – 287.
Trình bày báo cáo tại 03 hội nghị quốc tế:
- Hội nghị tổ hợp đại số Thượng Hải, 17-22/08/2012, Thượng Hải.
- Hội nghị toán học phối hợp Việt – Pháp, 20-24/08/2012, Huế.
- Hội nghị về tổ hợp và lý thuyết đồ thị, 03-14/09/2012, ICTP – IPM, Trieste, Italy.
3.3. Ý nghĩa khoa học, công nghệ, đào tạo và thực tiễn:
- Đăng và được nhận đăng 11 bài báo trên trên các tạp chí quốc tế có uy tín (trong đó có 09 bài trên các tạp chí trong danh mục ISI).
Tiếp tục gửi đăng 14 bài báo là sản phẩm của các hướng nghiên cứu trong công trình.
Báo cáo tại 03 hội nghị quốc tế (và một số seminar khoa học).
Hướng dẫn 03 luận văn cao học, 02 khóa luận tốt nghiệp.
Xây dựng một nhóm nghiên cứu gồm các sinh viên, học viên cao học có thành tích xuất sắc từ các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Giáo dục và Đại học Bách khoa Hà Nội tham gia nghiên cứu.
*Tóm tắt bằng tiếng Anh
1. Project title
Structures of some special classes of graphs in finite spaces and their applications.
2. Full name of author/group of authors
Le Anh Vinh, University of Education, Vietnam National University – Hanoi
3. Abstract of the project
3.1. Project purpose
Combinatorics deals with the counting properties of objects. In recent years, harmonic analysis, probability, analytic number theory, graph theory, and ergodic theory have all found common ground in this area. In many cases, the use of finite fields or finite cyclic rings as model spaces has opened up many non-trivial insights into the subject. It turns out that many theorems or properties are true in finite fields/rings, analogous statements also hold in other spaces and vice versa. In this project, we would like to further study this phenomenon by constructing and classifying special classes of graphs attached to vector spaces over finite fields or rings. We then apply properties of these graphs to various problems in additive combinatorics, for example, Erdos distance problems, point – line incidence problem, distribution of simplexes in finite spaces, distribution of matrices with certain properties, solvability of equations, sum – product estimates over finite fields/rings, and explicit constructions of strong adjacency graphs.
3.2. Main results
Published 11 papers at international journals (from VNU address):
L. A. Vinh, On the permanents of matrices with restricted entries over finite fields, SIAM J. Discrete Math.26(3) (2012), 997 – 1007 (SCI).
L. A. Vinh, The solvability of norm, bilinear and quadratic equations over finite fields via spectra of graphs, Forum Mathematicum (published online), DOI: 10.1515/form.2011.155 (SCI).
L. A. Vinh, Distinct triangle areas in a planar point set over finite fields, Electronic Journal of Combinatorics18(1) (2011), P213 (SCI-E).
L. A. Vinh, Product sets and distance sets of random point sets in vector spaces over finite rings, Indiana University Mathematics Journal, accepted(SCI).
L. A. Vinh, Sum and shifted-product subsets of product-sets over finite rings, Electronic Journal of Combinatorics19(2) (2012), P33 (SCI-E).
L. A. Vinh, An explicit construction of (3,t)-existentially closed graphs, Discrete Applied Mathematics 161 (10), 1651 – 1654 (SCI). (SCI).
L. A. Vinh, On the volume set of point sets in vector spaces over finite fields, Proceedings of the American Mathematical Society, accepted (SCI).
P. V. Thang and L. A. Vinh, Erdos – Renyi graphs, Szemeredi – Trotter type theorem, and sum – product estimates over finite rings, Forum Mathematicum, (published online) DOI: 10.1515/forum-2011-0161 (SCI).
P. V. Thang and L. A. Vinh, Orthogonal systems in vector spaces over finite fields, Electronic Journal of Combinatorics19(2) (2012), P48 (SCI-E).
L. A. Vinh, Explicit construction of 3-e.c. graphs from quadrances, Australasian Journal of Combinatorics51 (2011), 3 – 6.
L. A. Vinh, On kaleidoscopic pseudo-randomness of finite Euclidean graphs, Discussiones Mathematicae Graph Theory32(2) (2012) 279 – 287.
Presented at 03 international conferences
Shanghai Confernce on Algebraic Combinatorics, August 17 - 22, 2012, Shanghai Jiao Tong University.
VMS – SMF Joint Congress, August 20 – 24, 2012, Hue.
ICTP – IPM Workshop and Conference on Combinatorics and Graph Theory, September 03 – 14, 2012, ICTP Trieste, Italy.
3.3 Signification in sense of science, technology, education and practical application.
- 11 papers published/accepted at international journals (09 journals on the ISI list of Thomson – Reuter).
- Submitted 14 related papers to international journals as following results from the project.
- Presented at 03 international conferences (and several local seminars).
- Supervised 03 Master students and 02 Bachelor students under the scope of the project.
- Built up a research group including excellent bachelor and master students from Hanoi University of Science, VNU-HN, University of Education, VNU-HN and Hanoi University of Science and Technology.
