Sách “Lý thuyết số sơ cấp” - công trình tâm huyết của GS. Ngô Bảo Châu và TS. Đỗ Việt Cường

LỜI NÓI ĐẦU

Nhìn từ nhiều góc độ, lý thuyết số là điểm khởi đầu của toán học. Dù không chắc nó có phải là điểm cuối hay không nhưng lý thuyết số chưa bao giờ ngừng cung cấp những bài toán hay và khó làm động cơ cho sự phát triển nhiều nhánh khác nhau của toán học. Nếu muốn biên soạn một bộ giáo trình toán học đầy đủ, chọn lý thuyết số làm điểm xuất phát là lựa chọn hiển nhiên. Quyển sách Lý thuyết số sơ cấp bạn đang cầm trong tay hy vọng sẽ là quyển đầu tiên trong tủ sách giáo trình đại học môn Toán do Đại học Quốc gia Hà Nội và Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán VIASM phối hợp biên soạn.

Đăng ký vào thư viện điện tử của Đại học Quốc gia Hà Nội, bạn đọc có thể tìm thấy một kho tư liệu giáo trình đại học môn Toán đã được xuất bản, khá phong phú nhưng chưa đầy đủ. Bên cạnh một số giáo trình còn rất tốt, một số giáo trình đã trở nên lạc hậu với năm tháng. Bộ giáo trình hiện có được biên soạn bởi nhiều người, trong nhiều thời kỳ khác nhau, nên phong cách dĩ nhiên không thống nhất và có ít tính bổ trợ lẫn nhau. Bộ giáo trình mới hy vọng sẽ cập nhật hơn, nội dung có tính bổ trợ lẫn nhau, phong cách có tính thống nhất cao hơn. Việc biên soạn một bộ giáo trình Toán mới, trong đó có quyển sách này, sẽ tuân thủ một số nguyên tắc chung:

• Nguyên tắc thứ nhất là hạn chế tối thiểu các chủ đề được đề cập đến: Quyển sách này chỉ đề cập đến các chủ đề bắt buộc phải có trong giáo trình lý thuyết số sơ cấp. Các chủ đề cao cấp hơn của lý thuyết số, cần nền tảng sâu hơn về giải tích hay đại số, sẽ được trình bày trong những sách khác trong cùng bộ sách này, tập trung vào lý thuyết số giải tích hay lý thuyết số đại số. Lựa chọn này cho phép hạn chế số trang của quyển sách, và để phù hợp với việc sử dụng sách làm giáo trình giảng dạy trong một hoặc hai học kỳ.
• Nguyên tắc thứ hai là khi đề cập đến một vấn đề thì sẽ phải trình bày nó một cách thông suốt, tránh tối đa việc sử dụng những khái niệm không được định nghĩa. Điển hình là chương 0 là chương có tính nền tảng đề cập đến lý thuyết tập hợp. Thay vì việc trình bày lý thuyết tập hợp theo quan điểm “ngây thơ”, ở trong sách này lý thuyết tập hợp được trình bày chặt chẽ theo hệ thống tiên đề. Vì đối tượng của lý thuyết số là các số tự nhiên, tác giả cho rằng cần cố gắng nhất trong phạm vi có thể để định nghĩa chặt chẽ số tự nhiên là gì thay vì công nhận nó như một khái niệm “tự nhiên trời cho”. Tất nhiên là truy đến cùng thì chúng ta cũng phải định nghĩa số nguyên trên một cơ sở nào đó và cơ sở mà ta chọn ở đây là lý thuyết tập hợp với các tiên đề của nó.
• Nguyên tắc thứ ba là chú trọng làm rõ những mối liên hệ giữa các chuyên ngành toán với nhau, và những ứng dụng thực tế. Nếu như nền móng cần được thiết kế như một hệ thống tiên đề khép kín, chắc chắn, những tầng trên của căn nhà toán học cần được thiết kế liên thông và có nhiều cửa sổ mở ra với thế giới toán học.
• Nguyên tắc thứ tư là luôn có một câu hỏi rõ ràng khi đề cập đến một vấn đề. Nói cách khác là cần tránh phát triển một lý thuyết nặng nề và hình thức nếu không có động cơ rõ ràng là để giải một bài toán cụ thể nào đó. Ở một mặt khác thì chúng ta sẽ chọn quan tâm đến những vấn đề cụ thể nhưng có khả năng dẫn dắt chúng ta đến những lý thuyết toán học cao cấp hơn. Ví dụ như thay vì trình bày lý thuyết Galois như một tương quan giữa mở rộng trường và nhóm con của nhóm Galois, chúng ta sẽ xuôi theo quá trình lịch sử và tìm lời giải cho phương trình đại số bậc thấp mà từ đó bản thân khái niệm nhóm Galois sẽ xuất hiện một cách tự nhiên. Và chúng ta cũng chỉ tạm dừng ở đó, để dành phát triển lý thuyết Galois cho giáo trình về đại số đại cương và giáo trình về lý thuyết số đại số.

Khi biên soạn sách Lý thuyết số sơ cấp, các tác giả tuân thủ một số nguyên tắc xuyên suốt sau đây:

• Lý thuyết số phát triển nhờ vào nguồn dồi dào những bài toán hay với phát biểu sơ cấp nhưng có thể cần đến những kiến thức cao cấp hơn để hiểu thấu đáo. Sách cần đề cập tới đa số các bài toán kinh điển trong lý thuyết số sơ cấp, và bổ sung nhiều bài toán khác trong phần bài tập.
• Bên dưới vẻ ngoài trăm hoa đua nở với vô vàn bài toán thú vị, lý thuyết số có sự thống nhất về phương pháp. Một số phương pháp cơ bản để nghiên cứu lý thuyết số như lý thuyết số đại số, lý thuyết số giải tích sẽ được giới thiệu trong sách này, nội dung này sẽ được phát triển sâu và đầy đủ hơn trong những sách chuyên biệt khác.
• Sách cần làm nổi bật sự thống nhất về tư tưởng trong lý thuyết số. Điển hình như hàm ζ của Riemann xuất hiện ở nhiều vấn đề khác nhau của lý thuyết số, đôi khi một cách bất ngờ. Vì vậy hàm ζ của Riemann sẽ được đề cập đến nhiều từ nhiều góc độ khác nhau. Một ví dụ khác: Sự liên hệ giữa khái niệm số nguyên tố và đa thức bất khả quy sẽ được phân tích kỹ trong chương 1 và 2 của quyển sách.
• Những vấn đề nằm ở ranh giới giữa lý thuyết số sơ cấp với một phần khác của toán học như giải tích và đại số sẽ được đề cập đến ở đây, nhưng sẽ được trình bày sâu hơn ở các sách khác.

Để biên soạn quyển sách này, các tác giả sử dụng một số giáo trình kinh điển về lý thuyết số. Nội dung được sắp xếp theo trình tự gần giống với quyển sách rất tốt của Niven-Zuckerman, tuy nhiên quyển sách này đi sâu hơn sách của Niven-Zuckerman. Bên cạnh đó, một số chứng minh được tham khảo từ các quyển sách kinh điển của Baker, Borevich-Shafarevich, Chandrasekharan, Hardy-Wright, Hua Loo Keng và Serre. Đối tượng của sách trước hết là sinh viên đại học hoặc cao học ngành Toán học và Sư phạm Toán học mà đặc biệt là sinh viên trong hệ cử nhân tài năng. Ngoài ra, quyển sách cũng có thể là tư liệu bổ ích cho học sinh giỏi toán ở các trường phổ thông vì đa số các bài toán trong sách đã từng được nhắc đến ở dạng này hay dạng khác trong các kỳ luyện thi học sinh giỏi toán. Khác với các sách chuyên khảo dành cho học sinh giỏi toán ở các trường phổ thông (thường là một danh mục những bài toán mà trong đó có những bài rất thú vị), mục đích của sách này là chỉ ra mối liên hệ giữa những bài toán số học phổ thông với những khái niệm toán học cao cấp và sâu sắc hơn.

Chương 0 của sách trình bày tóm tắt lý thuyết tập hợp với tâm điểm là định nghĩa tập các số tự nhiên một cách chặt chẽ xuất phát từ hệ tiên đề Zermelo-Frankel. Ta sẽ cố gắng trình bày lý thuyết tập hợp sâu hơn quan điểm “ngây thơ” thường thấy trong các giáo trình hiện có bằng tiếng Việt.

Chương 1 trình bày lý thuyết đồng dư - phần phải có trong mọi giáo trình lý thuyết số sơ cấp mà tâm điểm là khái niệm số nguyên tố. Ở đây ta cố gắng phân biệt rõ những khái niệm và tính chất đúng với mọi vành giao hoán và những tính chất chỉ đúng cho vành các số nguyên và một số vành đặc thù như vành Euclid. Những định lý chia hết cơ bản như định lý Fermat nhỏ và Euler được trình bày kỹ trong chương này.

Chương 2 tập trung vào lý thuyết đa thức một biến - đây có thể coi như phần giao của lý thuyết số và đại số giao hoán mà tâm điểm là khái niệm đa thức bất khả quy tương tự với số nguyên tố trong vành các số nguyên. Khái niệm mở rộng trường được đề cập đến trong chương này sẽ được nghiên cứu nhiều hơn ở những chương sau. Trong chương này ta sẽ điểm lại một số định lý hay được dùng trong lý thuyết số sơ cấp như định lý Chevalley-Warning và định lý không điểm tổ hợp của Alon.

Chương 3 tập trung vào một trong những đỉnh cao của lý thuyết số sơ cấp là luật thuận nghịch bậc hai của Gauss. Đây cũng là phần có thể chia thành một môn học riêng, có tính ứng dụng cao. Nội dung của chương này sẽ được trình bày sâu hơn với những định lý hiện đại như định lý của Goldwasser-Micali-Rivest. Chương này cũng sẽ giới thiệu hàm ζ của Riemann và một số ứng dụng của nó.

Phần bài tập được thiết kế công phu với các bài toán cổ điển, có nhiều tính bổ ích và thử thách. Đây là phần không thể thiếu cho những bạn muốn tự kiểm tra và phát triển kỹ năng giải toán của mình.

Quyển sách Lý thuyết số sơ cấp hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích cho sinh viên, giáo viên và tất cả những ai quan tâm đến toán học. Qua quyển sách này, chúng tôi mong muốn góp phần nhỏ vào sự phát triển của toán học tại Việt Nam và khơi gợi niềm đam mê toán học trong thế hệ trẻ.